Ekuacionet me nje ndryshore (Ushtrime te zgjidhura)

Klikoni LIKE nese ju pelqen postimi!

Ekuacionet me nje ndryshore (Ushtrime te zgjidhura)

 

1) Zgjidhni ekuacionin 2x²=3x(x+3)+8 ne Z.

Zgjidhje:

Ekuacionin e zgjidhim fillimisht ne R. Ekuacioni me siper eshte i njevlershem me 2x²=3x²+9x+8 pra x²+9x+8=0

Nga ekuacioni nxjerrim qe a=1, b=9 dhe c=8

 

Ekuacioni ne R ka dy zgjidhje. Meqenese keto dy rrenje rezultojne numra te plote, ato jane edhe rrenjet per ekuacionin tone ne Z.

2) Per c'vlera te m, ekuacioni m²x-m=x+1 me ndryshore x:

a) Ka nje rrenje te vetme
b) Nuk ka rrenje
c)Ka si rrenje cdo numer real

Zgjidhje:

Duke kaluar ne anen e majte te gjitha kufizat me ndryshoren x, marrim

m²x-x=m+1
x(m² -1)=m+1

Shohim kur behet a=0 d.m.th. m²-1=0 => m²=1

Kjo ndodh per m=1 ose m=-1

a) Kur m≠±1 kemi a≠0, prandaj ekuacioni ka vetem nje rrenje, qe jepet nga barazimi

 

b) Kur m=1, ekuacioni ka trajten 0x=2, d.m.th. nuk ka zgjidhje reale.

c) Kur m=-1, ekuacioni ka trajten 0x=0, d.m.th. ka si zgjidhje cdo numer real.

3) Zgjidhni ekuacionin (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=40
 

Zgjidhje:

Shumezojme kllapen e pare me te fundit, dhe kllapen e dyte me te trete.

Kemi: (x²+5x+4)(x²+5x+6)=40

Me pas zevendesojme x2+5x+4=u

Kemi: u(u+2)=40

Pasi zgjidhim ekuacionin me siper si ne rastin e ushtrimit 1 me siper, atehere barazojme x2+5x+4 me vlerat e u dhe e zgjidhim serish ekuacionin.

4) Ekuacioni 3x²+bx+c=0 ka nje rrenje dyfishe te barabarte me 1. Gjeni koeficientet b dhe c.

Zgjidhje:

 Meqe kemi rrenje dyfishe, kemi qe D=0, D=b²-12c=0.
Meqe numri 1 eshte rrenje, atehere e zevendesojme te ekuacioni 3+b+c=0

5) Zgjidhni ekuacionin cos2x*cos3x=cos5x

Zgjidhje:

Shkruajme 5x=2x+3x, prandaj cos5x=cos2x*cos3x-sin2x*sin3x
Keshtu, ekuacioni shkruhet cos2x*cos3x=cos2x*cos3x-sin2x*sin3x
Nga rrjedh qe sin2x*sin3x=0Nga ketu sin2x=0 ose sin3x=0

Pra 2x=kΠ ose 3x=kΠ.