Funksioni logaritmik (Leksion)

Klikoni LIKE nese ju pelqen postimi!

Logaritem me baze a i numrit b quhet eksponenti i fuqise me baze a kur fuqia eshte b. Shenohet log_a x
Funksioni logaritmik eshte funksioni y = log _ax    ( 0 < a ≠ 1)
Shikojme grafikun e Funksionit logaritmik.
Per a > 1 funksioni eshte rrites ne ] 0; +∞ [   dhe rritet nga -∞ ne +∞
kur 0 < a < 1 funksioni eshte zbrites ne  ] 0; +∞ [ dhe zbret nga nga +∞ ne -∞

 

Bashkesia e percaktimit  E = ] 0; +∞[
Funksioni logaritmik eshte i caktuar  vetem per x > 0
Bashkesia e vlerave F = ] +∞; -∞[
Dallojme ne vecanti
Logaritmet dhjetore kur baza a = 10. shenohen log₁₀x = log x
Logaritmet natyrore kur baza eshte a = e. Shenohen log_e x = ln x
Numri e eshte numer irracional e ≈ 2,718281828459......

Funksioni eksponencial (Leksion)

Klikoni LIKE nese ju pelqen postimi!

Funksioni eksponencial eshte i formes a^x  ku a eshte baza dhe x eshte eksponenti.

y= a^x    (0 < a ≠ 1)

Grafiku i funksionit eksponencial
Per x = 0 vlera e y do te jete gjithmone 0. me pas gjejme ndonje vlere tjeter dhe shikojme me poshte si do te jete grafiku sipas dy rasteve.
kur a > 1    dhe kur 0< a < 1.
Grafiku i funksionit eksponencial kur a > 1  psh   y = 2^x do te kemi kete grafik. Pra nga krahu i majte i afrohet zeros pambarimisht por nuk e kap kurr ate.

 

 Grafiku i funksionit eksponencial kur 0< a < 1  psh   y = 0.5x do te kemi kete grafik. Pra nga krahu i djathte i afrohet zeros pambarimisht por nuk e kap kurr ate.

 

 

-Bashkesia e percaktimit eshte E = ]-∞; +∞ [ 
-Bashkesia e vlerave    F = ]0; +∞[
-Kur a > 1 funksioni eshte rrites ne R dhe rritet nga 0 ne +∞
-kur 0 < a < 1 funksioni eshte zbrites ne R dhe zvogelohet nga  +∞ ne 0

Funksionet trigonometrike (Leksion)

Klikoni LIKE nese ju pelqen postimi!

Ne mjaft probleme te jetes praktike lind nevoja per te njohur varesite
qe egzistojne ndermjet brinjeve dhe kendeve te trekendeshit. keto varesi i studion nje dege e vecante e matematikes e quajtur trigonometri (bashkimi i fjaleve trigon-trekendesh dhe metri-matje). Fillesat e kesaj dege jane ne shekullin. 2 p.e.r ne Greqi.
 Funksionet trigonometrike

Ekzistojnë 6 funksione trigonometrike, në fillim do ti përkufizojmë ato në një trekëndësh këndrejt.

• Hipotenuza është brinja që është përball këndit të drejtë (brinja më e madhe) në këtë rast e kemi shënuar me h.
• Kateti përballë këndit është në këtë rast brinja a.
• dhe Kateti ku shtrihet këndi në rastin tonë është brinja b.
•  
•  

Trekëndëshi kënddrejt përmban një kënd të drejtë 90° ose (π/2 radian) të cilin e shënojmë me C. Këndet A dhe B mund të ndryshojnë. Funksionet trigonometrike të një këndi i përcaktojmë si herës i brinjëve të trekëndëshit këndrejt.

Quhet sinus i kendit a raporti i katetit perballe kendit a me hipotenuzen pra

 Quhet kosinus i kendit a raporti i katetit te aneshkruar kendit a me hipotenuzen pra

 Quhet  tangent i kendit a raporti i katetit perballe kendit a me katetin e aneshkruar kendit a. Pra 

                                                                      

Quhet kontangent i kendit a raporti i katetit te aneshkruar kendit a me katetin perballe kendit a. Pra 

 Sekanti është herësi në mes hipotenuzës dhe katetit ku shtrihet këndi:

 

 Kosekanti i këndit është herësi në mes hipotenuzës dhe katetit përballë:

 

Duke qene raporte brinjesh, funksionet trigonometrike te kendeve jane numra pozitive dhe abstrakte.

Duke qene se gjatesite e  kateteve te trekendeshit jane me te vogla se gjatesia e hipotenuzes, rrjedh se vlerat e funksioneve trigonometrike sinus e kosinus  jane numra me te vegjel se 1.

Ketu keni te gjitha identitetet trigonometrike.

Drejtkendeshi (Leksion)

Klikoni LIKE nese ju pelqen postimi!

 

Drejtkendesh quhet paralelogrami qe ka nje kend te drejte.
Diagonalet e drejtkendeshit jane kongruente.
Nese diagonalet e nje paralelogrami jane kongruente, atehere kz paralelogram eshte drejtkendesh.
Siperfaqia e drejtkendeshit S = a*b
Perimetri P = 2*a + 2*b = 2*(a+b)
Diagonalet do te kene gjatesi.


Ne qofte se a = b atehere drejtkendeshi eshte katrore.

Drejteza (Leksion)

Klikoni LIKE nese ju pelqen postimi!

Zakonisht drejtezat i shenojme me shkronjat e vogla a,b,c,d..... 

Pika A shtrihet ne drejtzen a ndryshe themi " drejteza a kalon neper piken A" dhe shenojme Aa Pika B eshte pikprerja e drejtezave b dhe c

Neper cdo dy  pika kalon nje drejtez dhe vetem nje.

Sidoqofte drejteza ka pika qe shtrihen ne te dhe ka pika qe nuk shtrihen ne te.

Cilindri (Leksion)

Klikoni LIKE nese ju pelqen postimi!

Per te matur siperfaqen e cilindrit duhet te gjejm
si fillim siperfaqen e bazes se poshtme, 
siperfaqen e bazes se siperme dhe 
siperfaqen anesore dhe me pas ti mbledhim ato.

Siperfaqia e bazes se siperme πr²

Siperfaqia e bazes se poshtme πr2

Siperfaqia anesore 2πrh

Perfundimisht  S = 2πrh + 2πr2 

V=πhr2

Bashkesite (Leksion)

Klikoni LIKE nese ju pelqen postimi!

Bashkesia nuk perkufizohet, por do te kuptohet si teresi e disa objekteve qe quhen elemente te saje. Bashkesite do ti shenojme me germat e medhaja A, B, C, X, Y....  ndersa elementet e bashkesive do ti shenojme me germat e vogla a,b,c,d...   Bashkesia qe nuk ka asnje element quhet bashkesi boshe dhe simbolikisht shenohet me Φ. Per te treguar se A-ja eshte element i bashkesise A do te shenojme

 

 dhe per te treguar qe a-ja nuk eshte element i A perdorim shenimin

n(A) Ttregon numrin e elementeve te bashkesise A, kur bashkesia A eshte e fundme. 

Bashkesite mund ti paraqisim me emertim dhe me pershkrim. Psh me emertim do te ishte B={2,3,9,8,7}

 Qe bashkesia te paraqitet me emertim duhet patjeter qe ajo te jete e
fundme. Bashkesite qe jane te pafundme duhet patjeter te paraqiten me
pershkrim. psh bashkesine e numrave me te medhenj se 50

 A={x  N | x >50 } ne kete rast N quhet mjedisi dhe  x >50  quhet vetia karakteristike

 

                                              

Gjeometri (Ushtrime te zgjidhura)

Klikoni LIKE nese ju pelqen postimi!

Gjeometri (Ushtrime te zgjidhura)